Lifestyle

3 Tháng 11, 2024

Công thức lượng giác cho lớp 9, lớp 10, lớp 11 đầy đủ nhất

Tổng hợp các công thức lượng giác đầy đủ nhất trong cả chương trình toán lớp 9, 10, 11, gồm các công thức lượng giác cơ bản, công thức nhân, biến đổi tích thành cổng, lượng giác của các cung đặc biệt, giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, các công thức nghiệm cơ bản... Hãy nắm vững những công thức này để có thể triển khai các dạng bài tập về lượng giác.

Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Lượng giác

Với:

sin α: là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền của góc α
cos α: là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền của góc α
tan α: là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc α
cot α: là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc α

Mẹo học thuộc : Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn

Công thức chuyển đổi góc sang radian và ngược lại

${\beta ^0} = \frac{{\pi .\beta }}{{{{180}^0}}}rad$

$\alpha rad = {\left( {\frac{{180\alpha }}{\pi }} \right)^0}$

Công thức lượng giác cơ bản

$1. \tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$ với $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi;\left(k\mathbb{\in Z} \right)$

$2.\cot x =\frac{\cos x}{\sin x}$ với $x\neq k\pi;\left( k\mathbb{\in Z}\right)$

$3.\ \sin^2x+\cos^2x=1$

$4.\ \tan x.\cot x=1\left(x\ne k\frac{\pi}{2},\ k\ ∈\ Z\right)$

$5.\ 1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}\ \left(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\ ∈\ Z\right)$

$6.\ 1+\cot^2x=\frac{1}{\sin^2x}\ \left(x\ne k\pi,\ k\ ∈\ Z\right)$

Công thức cộng lượng giác

1. sin (a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b

2. cos (a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b

3. cos (a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b

$4.\ \tan\left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan.\tan b}$

$5.\ \tan\left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$

Mẹo nhớ công thức cộng: Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.

Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Với mọi góc lượng giác α và số nguyên k ta có:

$\sin(\alpha + k2\pi) = \sin\alpha$
$\cos(\alpha + k2\pi) = \cos\alpha$
$\tan(\alpha + k2\pi) =\tan\alpha$
$\cot(\alpha + k2\pi) =\cot\alpha$

Hai góc đối nhau:

cos (-x) = cos x
sin (-x) = -sin x
tan (-x) = -tan x
cot (-x) = -cot x

Hai góc bù nhau:

sin (π - x) = sin x
cos (π - x) = -cos x
tan (π - x) = -tan x
cot (π - x) = -cot x

Hai góc phụ nhau:

sin (π/2 - x) = cos x
cos (π/2 - x) = sin x
tan (π/2 - x) = cot x
cot (π/2 - x) = tan x

Hai góc hơn kém π:

sin (π + x) = -sin x
cos (π + x) = -cos x
tan (π + x) = tan x
cot (π + x) = cot x

Hai góc hơn kém π/2:

sin (π/2 + x) = cos x
cos (π/2 + x) = -sin x
tan (π/2 + x) = -cot x
cot (π/2 + x) = -tan x

Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a
$\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}$
$\cot2a=\frac{\cot^2a\ -1}{2\cot a}$

Công thức nhân ba

sin3a = 3sina - 4sin³a
cos3a = 4cos³a - 3cosa
$\tan3a=\frac{3\tan a-\tan^3a}{1-3\tan^2a}$
$\cot3a=\frac{\cot^3a-3\cot a}{3\cot^2a-1}$

Công thức nhân bốn

sin4a = 4.sina.cos³a - 4.cosa.sin³a
cos4a = 8.cos⁴a - 8.cos²a + 1 hoặc cos4a = 8.sin⁴a - 8.sin²a + 1

Công thức hạ bậc

Thực ra những công thức này đều được biến đổi ra từ công thức lượng giác cơ bản, ví dụ như: sin²a=1 - cos²a = 1 - (cos2a + 1)/2 = (1 - cos2a)/2.

$1.\ \sin^2a\ =\ \frac{1-\cos2a}{2}$

$2.\ \cos^2a=\frac{1+\cos2a}{2}$

$3.\ \sin^3a=\frac{3\sin a-\sin3a}{4}$

$4.\ \cos^3a=\frac{3\cos a+\cos3a}{4}$

Công thức biến đổi tổng thành tích

Mẹo nhớ: cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin.

$1.\ \cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}.\cos\frac{a-b}{2}$

$2.\ \cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}.\sin\frac{a-b}{2}$

$3.\ \sin\ a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}.\cos\frac{a-b}{2}$

$4.\ \sin\ a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}.\sin\frac{a-b}{2}$

$5.\ \tan a+\tan b=\frac{\sin\left(a+b\right)}{\cos a.\cos b}$

$6.\ \tan a-\tan b=\frac{\sin\left(a-b\right)}{\cos a.\cos b}$

$7.\cot a + \cot b = \frac{\sin(a +b)}{\sin a.\sin b}$

$8.\cot a - \cot b = - \frac{\sin(a -b)}{\sin a.\sin b}$

$9.\ \sin a+\cos a=\sqrt{2}\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)$

$10.\ \sin a-\cos a=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

$11.\ \tan a+\cot a=\frac{2}{\sin2a}$

$12.\ \cot a-\tan a=2\cot2a$

$13.\ \sin^4a+\cos^4a=1-\frac{1}{2}\sin^22a=\frac{1}{4}\cos4a+\frac{3}{4}$

$14.\ \sin^6a+\cos^6a=1-\frac{3}{4}\sin^22a=\frac{3}{8}\cos4a+\frac{5}{8}$

Công thức biến đổi tích thành tổng

$1.\ \cos a.\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos\left(a+b\right)+\cos\left(a-b\right)\right]$ $2.\ \sin a.\sin b=-\frac{1}{2}\left[\cos\left(a+b\right)-\cos\left(a-b\right)\right]$

$3.\ \sin a.\cos b=-\frac{1}{2}\left[\sin\left(a+b\right)+\sin\left(a-b\right)\right]$

Phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác cơ bản

$1.\sin a = \sin b \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = b + k2\pi \hfill \\ a = \pi - {\text{b}} + {\text{k}}2\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$2.\cos a = \cos b \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = b + k2\pi \hfill \\ a = - b + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$