Thủ Thuật

3 Tháng 11, 2024

Công thức tính diện tích tam giác: vuông, thường, cân, đều

Công thức tính diện tích tam giác thường, vuông, cân thế nào? Mời các bạn cùng tham khảo ngay bài viết dưới đây để nắm được những cách tính diện tích tam giác cực dễ hiểu và được sử dụng nhiều nhất.

1. Tính diện tích tam giác thường

Tam giác ABC có ba cạnh a, b, c, h_a là đường cao từ đỉnh A như hình vẽ:

a. Công thức chung

Diện tích tam giác bằng chiều cao nhân với độ dài cạnh đối diện rồi chia cho 2.

$Công thức tính diện tích tam giác chung$

Bài thơ tính diện tích tam giác thường

Diện tích tam giác dễ thôi
Chiều cao nhân đáy chia đôi, ra liền

Ví dụ:

Tính diện tích hình tam giác có độ dài đáy là 5m và chiều cao là 24dm.

Giải: Chiều cao 24dm = 2,4m

Diện tích tam giác là:

$S=\frac{5\times2.4}{2}=6\ m^2$

b. Tính diện tích tam giác khi biết một góc

Diện tích tam giác bằng ½ tích hai cạnh kề với sin của góc hợp bởi hai cạnh đó trong tam giác.

$Công thức tính diện tích tam giác khi biết một góc$

Ví dụ:

Tam giác ABC có cạnh BC = 7, cạnh AB = 5, góc B bằng 60 độ. Tính diện tích tam giác ABC?

Giải:

$S_{A B C}=\frac{1}{2} \text { a. b. } \sin \widehat{B}$

$=\frac{1}{2} .7 .5 . \sin 60^{\circ}$

$=\frac{35 \sqrt{3}}{4}$

c. Tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh bằng công thức Heron.

Sử dụng công thức Heron đã được chứng minh:

$Công thức Heron$

Với p là nửa chu vi tam giác:

$Công thức nửa chu vi tam giác$

Có thể viết lại bằng công thức:

$Công thức Heron tính diện tích tam giác$

Ví dụ:

Tính diện tích hình tam giác có độ dài cạnh AB = 8, AC = 7, CB = 9

Giải:

Nửa chu vi tam giác ABC là

$p=\frac{AB\ +\ AC\ +BC}{2}=\frac{8\ +\ 7\ +\ 9}{2}=12$

Áp dụng công thức hero ta có

$S\ =\ \sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}$

$=\sqrt{12\left(12-8\right)\left(12-7\right)\left(12-9\right)}$

$=12\sqrt{5}$

Tam giác ABC

d. Tính diện tích bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R).

$Công thức tính diện tích bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác$

Cách khác:

$S_{ABC} = 2.R^{2}.sin\hat{A}.sin\hat{B}.sin\hat{C}$

Tính diện tích bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Lưu ý: Cần phải chứng minh được R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC, độ dài các cạnh a = 6, b = 7, c = 5, R = 3 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Tính diện tích của tam giác ABC.

Giải:

$S=\frac{abc}{4R}=\ \frac{6\times7\times5}{4\times3\sqrt{2}}=\frac{210}{12\sqrt{2}}=\frac{35\sqrt{2}}{4}$

e. Tính diện tích bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (r).

$Công thức tính diện tích bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác$

p: Nửa chu vi tam giác.
r: Bán kính đường tròn nội tiếp.

Tính diện tích bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Ví dụ: Tính diện tích tam giác ABC biết độ dài các cạnh AB = 20, AC = 21, BC = 15, r = 5 (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

Giải:

Nửa chu vi tam giác là:

$p=\frac{AB\ +\ AC\ +BC}{2}=\frac{20+21+15}{2}=28$

r= 5

Diện tích tam giác là:

$S=p\times r=28\times5=140$

2. Tính diện tích tam giác cân

Tam giác cân ABC có ba cạnh, a là độ dài cạnh đáy, b là độ dài hai cạnh bên, h_a là đường cao từ đỉnh A như hình vẽ:

Áp dụng công thức tính diện tích thường, ta có công thức tính diện tích tam giác cân:

$Công thức tính diện tích tam giác cân$

3. Tính diện tích tam giác đều

Tam giác đều ABC có ba cạnh bằng nhau, a là độ dài các cạnh như hình vẽ:

Áp dụng định lý Heron để suy ra, ta có công thức tính diện tích tam giác đều:

$Công thức tính diện tích tam giác đều$

4. Tính diện tích tam giác vuông

Tam giác ABC vuông tại B, a, b là độ dài hai cạnh góc vuông:

Áp dụng công thức tính diện tích thường cho diện tích tam giác vuông với chiều cao là 1 trong 2 cạnh góc vuông và cạnh đáy là cạnh còn lại.

Công thức tính diện tích tam giác vuông:

$Công thức tính diện tích tam giác vuông$

Bài thơ tính diện tích Tam giác vuông:

Tam giác hai cạnh góc vuông
Bình tĩnh chớ có cuống cuồng mà sai

Cạnh, cạnh nhân nhau, chia hai
Là ra diện tích làm bài nhanh lên

5. Tính diện tích tam giác vuông cân

Tam giác ABC vuông cân tại A, a là độ dài hai cạnh góc vuông:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông cho diện tích tam giác vuông cân với chiều cao và cạnh đáy bằng nhau, ta có công thức:

$Tính diện tích tam giác vuông cân$

6. Công thức tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz

Về mặt lý thuyết, ta đều có thể dử dụng các công thức trên để tính diện tích tam giác trong không gian hay trong không gian Oxyz. Tuy nhiên như vậy sẽ gặp một số khó khăn trong tính toán. Do đó trong không gian Oxyz, người ta thường tính diện tích tam giác bằng cách sử dụng tích có hướng.

Công thức tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:

$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}|$

Ví dụ minh họa:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh lần lượt là A(-1;1;2), B(1;2;3), C(3;-2;0). Tính diện tích tam giác ABC.

Bài giải:

Ta có:

$\begin{aligned} &\overrightarrow{A B}=(2 ; 1 ; 1) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\overrightarrow{A C}=(4 ;-3 ;-2) \end{aligned}$

$S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}|=\frac{\sqrt{165}}{2}$

Để tính diện tích tam giác bạn cần xác định loại tam giác đó là gì, từ đó tìm ra công thức tính diện tích chính xác và các yếu tố cần thiết để tính diện tích tam giác nhanh nhất.

Các loại tam giác

Tam giác thường: là tam giác cơ bản nhất, có độ dài các cạnh khác nhau, số đo góc trong cũng khác nhau. Tam giác thường cũng có thể bao gồm các trường hợp đặc biệt của tam giác.

Tam giác cân: là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh này được gọi là hai cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy. Tính chất của tam giác cân là hai góc ở đáy thì bằng nhau.

Tam giác đều: là trường hợp đặc biệt của tam giác cân có cả ba cạnh bằng nhau. Tính chất của tam giác đều là có 3 góc bằng nhau và bằng 60.

Tam giác vuông: là tam giác có một góc bằng 90

(là góc vuông).

Tam giác tù: là tam giác có một góc trong lớn hơn lớn hơn 90

(một góc tù) hay có một góc ngoài bé hơn 90

(một góc nhọn).

Tam giác nhọn: là tam giác có ba góc trong đều nhỏ hơn 90

(ba góc nhọn) hay có tất cả góc ngoài lớn hơn 90

(sáu góc tù).

Tam giác vuông cân: vừa là tam giác vuông, vừa là tam giác cân.

Trên đây là toàn bộ nội dung tổng hợp các công thức tính diện tích tam giác thông dụng, tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ oxyz. Nếu bạn có bất kì băn khoăn, thắc mắc hoặc đóng góp, hãy để lại comment bên dưới để cùng trao đổi với LDG nhé.