Dưới đây là công thức tính số số hạng, tính tổng số số hạng, tính số cuối cách đều, số đầu cách đều trong dãy số tự nhiên theo quy luật, mời bạn cùng tham khảo.

Tính số số hạng của một dãy số

Ta có công thức:

Số các số hạng của dãy = Số khoảng cách + 1

Nếu dãy số có quy luật cách đều nghĩa là mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì:

Số các số hạng của dãy = (Số hạng lớn nhất – Số hạng nhỏ nhất) : d + 1

Ví dụ Cho dãy số 1, 3, 5, 7, 9, …, 2007. Hãy tìm số số hạng của dãy số đó.

Lời giải

Quy luật của dãy số: số liền sau hơn số liền trước 2 đơn vị → d = 2

Số các số hạng của dãy số bằng: (2007 - 1) : 2 + 1 = 1004 số.

Đáp số 1004 số

Ví dụ: Dãy số dưới dãy có bao nhiêu số hạng 11, 14, 17, 20, … , 92, 95, 98, 101?

Lời giải

Quy luật của dãy số: số liền sau hơn số liền trước 3 đơn vị → d = 3

Số số hạng của dãy số = (101 – 11) : 3 + 1 = 31 số.

Đáp số: 31 số

Công thức tính tổng số số hạng

Tính tổng số các số hạng

Để tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều, ta thực hiện theo 2 bước sau:

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy

Số số hạng của dãy số = (số hạng lớn nhất trong dãy – số hạng bé nhất trong dãy) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Bước 2: Tính tổng của dãy số cách đều

Tổng của dãy số = (số hạng lớn nhất trong dãy + số hạng bé nhất trong dãy) x số số hạng của dãy số : 2

Công thức tính trung bình cộng

Trung bình cộng = (tổng của các số) : (số các số hạng)

Ví dụ: Cho dãy số 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. Biết dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, có 9 số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng cuối bằng 26. Tính trung bình cộng của dãy số.

Lời giải

Áp dụng công thức tính tổng dãy số cách đều ở trên ta có:

Tổng = (2 + 26) x 9 : 2 = 126

Số cuối = 2 + 3 x (9 – 1) = 26

Số đầu = 26 – 3 x (9 – 1) = 2

Số số hạng = (26 – 2) : 3 + 1 = 9

Trung bình cộng = (2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26) : 9 = ( 2 + 26) : 2 = 14

Đáp số: 14

Ví dụ: Tính tổng:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + ........................... + 2014.

Lời giải:

Số số hạng của dãy số trên là:

(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)

Vậy tổng số số hạng của dãy số là:

(2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105

Đáp số: 2029105

Ví dụ: Tính tổng các số trong dãy số: 2, 5, 8, 11, …, 296.

Lời giải

Quy luật của dãy số: số liền sau hơn số liền trước 3 đơn vị → d = 3

Số số hạng của dãy số = (296 – 2) : 3 + 1 = 99 số

Tổng của dãy số = (296 + 2) x 99 : 2 = 14751

Đáp số: 14751

Ví dụ: Tính tổng dãy số chẵn từ 1 đến 100.

Lời giải

Quy luật của dãy số: số liền sau hơn số liền trước 2 đơn vị → d = 3

Số số hạng của dãy số từ 2 đến 100 = (100 - 2) : 2 + 1 = 50 số

Tổng của dãy số từ 2 đếm 100 = (100 + 2) x 50 : 2 = 2550

Đáp số: 2550

Ví dụ: Tính tổng các số từ 1 đến 999

Lời giải

Quy luật của dãy số: số liền sau hơn số liền trước 1 đơn vị → d = 1

Số số hạng của dãy số = (999 - 1) : 1 + 1 = 999 số

Tổng của dãy số = (999 + 1) x 999 : 2 = 499500

Đáp số: 499500

Công thức tìm số hạng thứ n của dãy số theo quy luật

Công thức tìm số hạng cuối cùng của dãy số cách đều

Tìm số cuối dãy = Số đầu + tổng khoảng cách

Công thức tìm số hạng đầu tiên của dãy số cách đều

Tìm số đầu dãy = Số cuối – tổng khoảng cách

Trong đó:

Tổng khoảng cách = khoảng cách x (n – 1)

Chú ý: Hai số liên tiếp nhau có 1 khoảng cách.

Suy ra số khoảng cách giữa n số trong dãy số là n – 1

 

Ví dụ: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, … Hỏi số hạng thứ 20 của dãy là số nào?

Lời giải

Dãy đã cho là dãy số lẻ nên các số liên tiếp trong dãy cách nhau 1 khoảng cách là 2 đơn vị.

20 số hạng thì có số khoảng cách là : 20 – 1 = 19 (khoảng cách)

19 số có số đơn vị là:

19 x 2 = 38 (đơn vị)

Số cuối cùng là:

1 + 38 = 39

Đáp số: Số hạng thứ 20 của dãy là 39

Ví dụ: Tìm số hạng đầu tiên của dãy số: …, 24, 27, 30. Biết rằng dãy số có 10 số hạng.

Lời giải

10 số hạng thì có số khoảng cách là:

10 – 1 = 9 (khoảng cách)

Tổng khoảng cách là:

3 x 9 = 27

Số hạng đầu tiên của dãy là:

30 – 27 = 3

Đáp số: 3

Ví dụ: Tìm số hạng thứ 300 của dãy: 1; 3; 7; 13; 21; 31; …

Lời giải

Tìm quy luật của dãy số:

Số thứ nhất: 1 = 1 + 0 x 1

Số thứ hai: 3 = 1 + 1 x 2

Số thứ ba: 7 = 1 + 2 x 3

Số thứ tư: 13 = 1 + 3 x 4

Số thứ năm: 21 = 1 + 4 x 5

Số thứ sáu: 31 = 1 + 5 x 6 …

Kết luận quy luật dãy số: Mỗi số đều bằng tổng của 1 với tích của số thứ tự của nó nhân với số liền trước số thứ tự của nó.

Số hạng thứ 300 của dãy là:

1 + 300 x 299 = 89 701

Đáp số: 89 701

Ví dụ: Viết 50 số lẻ, số cuối cùng là 2017. Tìm số đầu tiên?

Lời giải

Quy luật: 2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị

50 số lẻ có số khoảng cách là:

50 – 1 = 49 (khoảng cách)

49 khoảng cách có số đơn vị là:

49 x 2 = 98 (đơn vị)

Số đầu tiên là:

2017 – 98 = 1919

Đáp số: Số đầu tiên là 1919.

Các dạng bài toán khác về dãy số

Tìm quy luật của dãy số

Phương pháp giải:

Để giải được loại toán này, ta cần xác định quy luật của dãy số. Các quy luật thường gặp của dãy số là:

1. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng (hoặc trừ) với cùng một số tự nhiên.

2. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân (hoặc chia) với cùng một số tự nhiên khác 0.

3. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của 2 số hạng đứng liền trước nó.

4. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng liền trước nó.

5. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với số chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với cùng một số tự nhiên.

6. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của 2 số hạng đứng liền trước nó.

7. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tích của 3 số hạng đứng liền trước nó.

8. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó.

9. Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của số hạng đó nhân với số liền sau của số thứ tự.

10. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một số tự nhiên d rồi nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó.

Viết tiếp ba số hạng của dãy số sau:

a) 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ;….

b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; …..

c) 1 ; 2 ; 6 ; 24 ; …

Giải: 

a)

Nhận xét:

Số hạng thứ ba của dãy số là: 3 = 1 + 2
Số hạng thứ tư của dãy số là 5 = 2 + 3
Số hạng thứ năm của dãy số là 8 = 3 + 5
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.

Áp dụng quy luật này, ta có các số hạng tiếp theo là:

8 + 13 = 21

13 + 21 = 34

21 + 34 = 55

Vậy ta được dãy số là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

b)

Số hạng thứ tư của dãy số là: 6 = 0 + 2 + 4
Số hạng thứ năm của dãy số là 12 = 2 + 4 + 6
Số hạng thứ sáu của dãy số là 22 = 4 + 6 + 12
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng liền trước nó.

Áp dụng quy luật này ta có:

Số hạng thứ bảy là 6 + 12 + 22 = 40
Số hạng thứ tám là 12 + 22 + 40 = 74
Số hạng thứ chín của dãy số là 22 + 40 + 74 = 136
Dãy số đã cho còn viết là: 0; 2; 4; 6; 12; 22; 40 ; 74 ; 136 ; …..

c)

Ta có:

7 = 2 + 2 + 3

13 = 7 + 3 + 3

20 = 13 + 4 + 3

Quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với số chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với 3.

• Số hạng thứ năm là: 20 + 5 + 3 = 28
• Số hạng thứ sáu là: 28 + 6 + 3 = 37
• Số hạng thứ bảy là 37 + 7 + 3 = 47

Dãy số đã cho còn viết là 2 ; 7 ; 13 ; 20 ; 28 ; 37 ; 47 ; …..

Xác định số a có thuộc dãy số đã cho hay không

Phương pháp giải:

- Xác định đặc điểm của các số hạng trong dãy số

- Kiểm tra số a có thỏa mãn đặc điểm đó hay không?

Ví dụ 1: Cho dãy số: 2, 5 , 8, 11, 14, 17, ….

Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên.

Bài giải

Ta thấy:

2 + 3 = 5

5 + 3 = 8

8 + 3 = 11

….

Quy luật: Kể từ số thứ hai trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3 đơn vị.

Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy số là: 17 + 3 = 20 ; 20 + 3 = 23 ; 23 + 3 = 26

Dãy số trên được viết là 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, …

Bài toán đánh số trang sách, dãy chữ

Ví dụ 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TO QUOC VIET NAM thành dãy:

TOQUOCVIETNAMTOQUOCVIETNAM ……

a) Chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ gì?

b) Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O, bao nhiêu chữ I?

c) Bạn An đếm được trong dãy có 2007 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay đếm sai?

d) Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím , vàng, …. Hỏi chữ cái thứ 2007 trong dãy được tô màu gì?

Giải:

a) Nhóm chữ TO QUOC VIET NAM có 13 chữ cái.

2007 : 13 = 154 dư 5

Vậy chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ thứ năm. Chữ đó là O.

b) Mỗi nhóm chữ TO QUOC VIET NAM có 2 chữ T và cũng có 2 chữ O và 1 chữ I.

Vì vậy, nếu người ta đếm được 50 chữ T thì trong dãy đó cũng có 50 chữ O và 25 chữ I.

c) Bạn ấy đếm sai vì chữ O trong dãy phải là số chẵn.

d) Ta có 2007 : 4 = 501 (dư 3)

Vậy chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ cái thứ 3. Chữ đó được tô màu tím.